A Complex Hyperbolic Structure for Moduli of Cubic Surfaces

We show that the moduli space M of marked cubic surfaces is biholomorphic to (B −H)/Γ0 where B is complex hyperbolic four-space, where Γ0 is a specific group generated by complex reflections, and where H is the union of reflection hyperplanes for Γ0. Thus M has a complex hyperbolic structure, i.e., an (incomplete) metric of constant holomorphic sectional curvature. Une structure hyperbolique complexe pour les modules des surfaces cubiques Résumé. Nous montrons que l’espace des modules M des surfaces cubiques marquées est biholomorphe à (B −H)/Γ0 oú B est l’espace complexe hyperbolique de dimension quatre, oú Γ0 est un groupe spécifique généré par des réflections complexes, et oú H est l’union de l’ensemble d’hyperplans de réflection de Γ0. Donc M admet une structure hyperbolique complexe, c’est à dire une métrique (incomplète) de courbure holomorphe sectionnelle constante. Version française abrégée A une surface cubique (marquée) correspond une variété cubique de dimension trois (marquée), à savoir le revêtement de P ramifié le long de la surface. L’application des périodes f pour ces variétés de dimension trois est définie sur l’espace des modules M des cubiques marquées, et cette application f prend ses valeurs dans une quotient de la boule unitaire dans C par l’action du groupe de monodromie projective. Ce groupe Γ0 est généré par des réflections complexes dans un ensemble d’hyperplans dont nous notons la réunion par H. Alors nous avons le resultat suivant: Théorème. L’application des périodes définit une biholomorphisme